Stefan Vickers·09.05.2023
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (1) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (1)](../../../assets/blog/LSP_groesster-gemeinsamer-teiler-ggt_title.png)
Den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen zu kennen, ist insbesondere dann von Nutzen, wenn es darum geht, Brüche effizient zu kürzen. Wir zeigen dir in diesem Blogartikel drei verschiedene Möglichkeiten, wie man den größten gemeinsamen Teiler, auch ggT genannt, finden kann und erklären welche Stärken und Schwächen die unterschiedlichen Rechenvorschriften mit sich bringen.
Bist du nicht auf der Suche nach Erklärungen, sondern nach Aufgaben zum Üben? Dann springe gleich zu unserem Aufgabengenerator und drucke dir kostenlos so viele Übungsblätter als PDF 📃 aus wie du rechnen kannst.
Größter gemeinsamer Teiler - Worum geht’s?
Der Begriff “größter gemeinsamer Teiler” zweier natürlicher Zahlen
Nehmen wir nun noch das Maximum der gemeinsame Teilermenge, so erhalten wir den größten gemeinsamen Teiler von
Um das ganze nicht zu theoretisch zu machen, schauen wir uns folgendes Beispiel an. Wir suchen den größten gemeinsamen Teiler von
Wir sehen bereits, dass die Teiler
Oftmals wird im Zusammenhang mit dem größten gemeinsamen Teiler auch das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) diskutiert. Ähnlich wie beim ggT wird der kgV beim Rechnen mit Brüchen verwendet. Während der ggT eine hilfreiche Rechenvorschrift beim Kürzen von Brüchen darstellt, erleichtert der kgV das Erweitern und damit das Addieren und Subtrahieren von Brüchen.
Voraussetzungen
Folgendes Vorwissen solltest du bereits mitbringen, um den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen bestimmen zu können. Solltest du mit einem der Themen noch Schwierigkeiten haben, findest du auf unserer Seite nützliche Informationen und kannst dir natürlich kostenlos so viele Übungsaufgaben ausdrucken wie du rechnen kannst.
Dividieren
Bei allen drei Methoden zur Bestimmung des ggT solltest du einfache Divisionsaufgaben lösen können
- Schriftliches Dividieren und Dividieren mit Rest benötigst du für den Euklidischen Algorithmus (letzte Methode)
- Über unseren Blogartikel zur schriftlichen Division kannst du dein Wissen wieder auffrischen und findest relevante Übungen zu dem Thema
Teilbarkeitsregeln
Du kannst mit Hilfe der Teilbarkeitsregeln schnell erkennen, ob eine Zahl durch z.B. 2;3;4;5;9;10 teilbar ist
- Brauchst du eine Auffrischung? Dann schau dir Die wichtigsten Teilbarkeitsregeln nochmal an
Teilermengen
Für die Anwendung der ersten Rechenvorschrift GGT mit Hilfe von Teilermengen - Kochrezept 1 solltest du Teilermengen bilden können
- Denke daran, dass du zum Bilden der Teilermenge nicht für alle Zahlen die Probedivision durchführen musst
- Falls du eine Auffrischung benötigst findest du Im Artikel Primfaktorzerlegung eine Erklärung dazu
Primfaktorzerlegung
Die zweite Methode basiert auf der Primfaktorzerlegung
- Wie die Primfaktorzerlegung funktioniert kannst du im Artikel Primfaktorzerlegung nachlesen
GGT mit Hilfe von Teilermengen - Kochrezept 1
Der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen
Wir erklären das Vorgehen Schritt für Schritt anhand des Beispiels
Schritt 1: Bilde die erste Teilermenge👈
Wir starten mit der Bestimmung der Teilermenge für die erste natürliche Zahl
Mit Hilfe der wichtigsten Teilbarkeitsregeln ist die Teilermenge schnell bestimmt. Beachte, dass du zur Bestimmung der Teilermenge die Probedivision nur bis maximal $ \sqrt 174 \sim 13$ durchführen musst. Falls du eine Auffrischung hierzu brauchst, liest dir unseren Artikel zur Probedivision durch.
Schritt 2: Bilde die zweite Teilermenge 👈
Im zweiten Schritt verfahren wir mit
Schritt 3: Gemeinsame Teilermenge bilden 👈
Nun bildest du aus den beiden vorherigen Schritten die Schnittmenge der jeweiligen Teilermengen
Wenn du beide Mengen untereinander schreibst oder gemeinsame Teiler farblich markierst, kannst du die Schnittmenge einfach ablesen.
Schritt 4: ggT ablesen 👈
Der letzte Schritt ist dann nur noch das Maximum (also die größte Zahl) aus der Schnittmenge abzulesen. Wenn du die Schnittmenge der Größe nach aufsteigend sortiert hast, ist es die letzte Zahl in der Schnittmenge.
GGT mit Hilfe der Primfaktorzerlegung - Kochrezept 2
Die Primfaktorzerlegung ist eine zweite Methode mit deren Hilfe du ebenfalls den größten gemeinsamen Teiler zweier natürlicher Zahlen bestimmen kannst. Wir schauen uns dazu das gleiche Beispiel aus Methode 1 an, um Schritt für Schritt die Rechenvorschrift zu erklären:
Schritt 1: Erstelle die Primfaktorzerlegung für beide natürliche Zahlen 👈
Das Ergebnis der Primfaktorzerlegung für
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (2) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (2)](../../../assets/blog/LSP_Schritt1_GGT-Primfaktorzerlegung.png)
Schritt 2: Gemeinsame Primfaktoren identifizieren 👈
Um den ggT zu erhalten, musst du nun alle Primfaktoren bestimmen, die sowohl Teil der Primfaktorzerlegung von
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (3) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (3)](../../../assets/blog/LSP_Schritt2_GGT-Primfaktorzerlegung.png)
Schritt 3: Primfaktoren multiplizieren 👈
Die gefundenen gemeinsamen Primfaktoren werden nun miteinander multipliziert und liefern den gesuchten größten gemeinsamen Teiler.
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (4) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (4)](../../../assets/blog/LSP_Schritt3_GGT-Primfaktorzerlegung.png)
Achte darauf, dass du die Vielfachheit der Primfaktoren berücksichtigst. Kommt ein Primfaktor in beiden natürlichen Zahlen mehrfach vor, so muss dieser Primfaktor für die Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers auch mehrfach multipliziert werden.
GGT mit Hilfe des Euklidischen Algorithmus - Kochrezept 3
Die beiden zuvor vorgestellten Rechenverfahren eignen sich nur solange die beiden natürlichen Zahlen, für die ein größter gemeinsamer Teiler gesucht wird, nicht zu groß sind. In solchen Fällen ist der Euklidische Algorithmus gegenüber der Primfaktorzerlegung sowie der Bestimmung durch Teilermengen vorzuziehen. Dabei macht sich der Euklidische Algorithmus folgende Eigenschaft zu Nutze
indem die rekursive Anwendung der obigen Gleichung solange durchgeführt wird, bis sich der finale Term
Schritt 1: Modulo-Berechnung der natürlichen Zahlen 👈
Führe in der ersten Zeile die Division mit den beiden natürlichen Zahlen aus der Aufgabenstellung durch. Dabei wird die größere Zahl durch die kleinere geteilt.
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (5) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (5)](../../../assets/blog/LSP_Schritt0_GGT-Euklid.png)
Notiere auch den Rest der Divisionsaufgabe, da dieser im nächsten Schritt benötigt wird.
Schritt 2: Vereinfachte ggT-Aufgabe bestimmen 👈
Aus den Ergebnissen aus Schritt 1 und mit Hilfe der rekursiven Formel oben, ergibt sich nun eine ggT-Aufgabe mit zwei neuen natürliche Zahlen. Zum einen die kleinere Zahl der ursprünglichen ggT-Aufgabe und zum anderen der Rest der Divisionsaufgabe.
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (6) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (6)](../../../assets/blog/LSP_Schritt1_GGT-Euklid.png)
Dazu schreiben wir in unserem Beispiel
Schritt 3: Vereinfachte ggT-Aufgabe bestimmen (1. Iteration) 👈
Die Division ergibt wieder einen Rest verschieden von Null, so dass wir die nächste ggT-Aufgabe wie in Schritt 2 bestimmen können.
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (7) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (7)](../../../assets/blog/LSP_Schritt2_GGT-Euklid.png)
Der Dividend
Schritt 4: Vereinfachte ggT-Aufgabe bestimmen (2. Iteration) 👈
Wir wiederholen nun Schritt 2 bzw. Schritt 3 solange die Divisionsaufgabe keinen Rest zurück liefert.
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (8) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (8)](../../../assets/blog/LSP_Schritt3_GGT-Euklid.png)
Schritt 5: Vereinfachte ggT-Aufgabe bestimmen (letzte Iteration) 👈
Die letzte Iterationsschleife formuliert eine Divisionsaufgabe die keinen Rest hat (bzw. den Rest Null).
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (9) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (9)](../../../assets/blog/LSP_Schritt4_GGT-Euklid.png)
Damit sind wir am Ende des Algorithmus angelegt und können das Ergebnis in der letzten Zeile ablesen.
Schritt 6: Ergebnis ablesen 👈
Das Ergebnis der ursprünglichen Aufgaben kann mit der letzten Zeile anhand des Divisors abgelesen werden.
![Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (10) Größter Gemeinsamer Teiler - GGT | Mathekönig (10)](../../../assets/blog/LSP_Schritt5_GGT-Euklid.png)
Somit ergibt
Größter gemeinsamer Teiler für mehrere Zahlen 🚀
Für die Aufgabe, einen größten gemeinsamen Teiler für mehr als zwei natürliche Zahlen zu finden, können wir die Methoden, die wir in diesem Kapitel vorgestellt haben, anwenden. Da folgendes für den größten gemeinsamen Teiler gilt
besteht die Aufgabe also darin, die Bestimmung des ggT mehrfach durchzuführen, wobei die Reihenfolge der Bestimmung dabei keine Rolle spielt.
Würden wir z.B. die Aufgabe bekommen, den ggT der drei natürlichen Zahlen
wie gehabt berechnen, um im Anschluss das Ergebnis dieser Berechnung für die zweite Bestimmung
zu verwenden. Damit ist
Teilermengen bestimmen
Falls du eine Auffrischung benötigst wie Teilermengen gebildet werden, dann schau dir unser Video dazu an
Fragen und Antworten
Der größte gemeinsame Teiler einer natürlichen Zahl a mit der Null ist der Betrag von a,
Der größte gemeinsame Teiler einer natürlichen Zahl a mit 1 ist 1,
Der ggT ist insbesondere bei der Vereinfachung von Brüchen, insbesondere beim systematischen Kürzen von Brüchen, sehr nützlich.
Für die Bestimmung des ggT gibt es verschiedene Verfahren, wobei das Teilermengen-Verfahren, die Primfaktorzerlegung, sowie der Euklidische Algorithmus gängige Methoden hierfür sind.
Bei der Bestimmung von
Der ggT wird in Deutschland typischerweise auf den weiterführenden Schulen (wie Gymnasium, Real- und Hauptschule) zwischen der 5. und 6. Klasse behandelt.
Das könnte dich auch interessieren
Stefan Vickers
Schriftlich Multiplizieren einfach erklärt
Verstehe wie die schriftliche Multiplikation funktioniert und stelle dir individuelle Übungsblätter samt Lösungen zum Thema zusammen.
30.11.2023·Grundrechenarten erklärt
Florian Thüroff
Binomische Formeln lösen – Tricks und Techniken zu grundlegenden Aufgaben
Binomische Formeln lösen: Sicher und effektiv. Lerne an 9 Beispielen alle Tricks und Techniken um typische Aufgaben zu binomischen Formeln zu meistern.
09.05.2023·Binomische Formeln
Florian Thüroff
Binomische Formeln und deren Anwendung verstehen
Wir erklären dir was die binomischen Formeln sind, wo sie herkommen und wozu man die binomischen Formeln braucht
09.05.2023·Binomische Formeln
Stefan Vickers
Primfaktorzerlegung - einfach erklärt
Du möchtest wissen wie die Primfaktorzerlegung funktioniert? Wir erklären dir Schritt für Schritt wie du das Thema in der Schule meistern kannst und in welcher Technologie die Methode heute noch verwendet wird.
09.05.2023·Primfaktorzerlegung
Florian Thüroff
Schneller Kopfrechnen: Vielfache von 5 in Rekordzeit quadrieren
Verbessere deine Kopfrechenleistung und lerne Zahlen in Rekordzeit zu quadrieren. Der Trick funktioniert für zweistellige Vielfache der Zahl 5.
09.05.2023·Kopfrechnen
Florian Thüroff
Schriftliches Dividieren einfach erklärt
Wir erklären dir die schriftliche Division mit und ohne Rest und geben dir Tipps und Tricks wie du die schriftliche Division meistern kannst
09.05.2023·Grundrechenarten erklärt
Mehr zu natürlichen Zahlen
Du suchst detailierte Informationen, wie zum Beispiel alle Teiler oder die Vielfachenmenge, zu einer bestimmten natürlichen Zahl? Dann wirst du hier fündig.